Trigonometri adalah bidang ilmu ukur sudut dan sempadan segitiga yang umum digunakan dalam ilmu astronomi atau perbintangan dan sebagainya (KBBI). Umumnya materi terkait trigonometri disajikan di sekolah mulai dari tingkat SMP dan akan lebih mendalam pada tingkat SMA dan Perguruan tinggi. Pada umumnya para siswa menyebut bidang ilmu matematika ini dengan sebutan pelajaran atau rumus Sin Cos Tan, karena mungkin lebih mudah untuk diingat.

Baik, kita akan menggunakan gambar berikut untuk menjelaskan konsep dasar trigonometri.

Pada dasarnya gambar di atas merupakan lingkaran dengan jari-jari r. Di dalam lingkaran tersebut terdapatlah sebuah segitiga siku-siku ABC. Uniknya, sisi miring segitiga siku siku ini adalah sama dengan jari-jari lingkaran yaitu r. Selain itu, segitiga dalam lingkaran ini juga memiliki 2 sisi lainnya yaitu sisi c dan a.

Segitiga ABC ini memiliki tiga sudut yang terdiri atas dua sudut lancip yaitu [latex]\alpha[/latex] dan [latex]\gamma[/latex] serta sebuah sudut siku siku yaitu [latex]\beta[/latex]. Kedepan sudut-sudut dan sisi-sisi inilah yang mengantar kita ke pemahaman materi trigonometri ini.

Rumus Nilai Cosinus atau Cos

Nilai Cosinus atau Cos sebuah sudut [latex]\alpha[/latex] dalam segitiga ABC di atas adalah :

[latex]Cos(\alpha)=\frac{c}{r}[/latex]

Jika kita perhatikan, segitiga ABC di atas adalah segitiga siku siku dengan sisi a,c dan r dengan masing-masing memiliki panjang a=3, c=4 sehingga r=5. Dengan demikian, nilai [latex]Cos(\alpha)[/latex] adalah:

[latex]Cos(\alpha)=\frac{c}{r}=\frac{4}{5}=0,800[/latex]

Rumus Nilai Sinus atau Sin

Kembali perhatikan segitiga ABC di atas. Dengan panjang c = 4, a=3 dan r=5 maka nilai Sinus atau Sin sudut [latex]\alpha[/latex] adalah :

[latex]Sin(\alpha)=\frac{a}{r}=\frac{3}{5}=0,600[/latex]

Rumus Nilai Tangen atau Tan

Dalam segitiga ABC di atas, nilai tangen dari sudut [latex]\alpha[/latex] adalah :

[latex]Tan(\alpha)=\frac{a}{c}=\frac{3}{4}=0,750[/latex]

Tabel Trigonometri

Dalam praktiknya, sudut [latex]\alpha[/latex] dapat bergerak dari [latex]0^0[/latex] sampai dengan satu putaran penuh yaitu [latex]360^0[/latex]. Hal ini menyebabkan nilai sin, cos dan tan dari setiap sudut untuk seluruh putaran adalah bervariasi. Lebih lengkapnya dapat dilihat pada tabel trigonometri berikut ini :

Download

Grafik Sin, Cos, Tan

Dari tabel trigonometri atau tabel sin,cos, tan di atas kita dapat membuat grafik dengan menggunakan MsExcel atau aplikasi lainnya. Dalam grafik ini, sudut ditampilkan dalam [latex]\pi[/latex] radian. Nilai [latex]\pi[/latex] radian sama dengan [latex]180^0[/latex]. Dengan demikian sudut [latex]1^0[/latex] sama nilainya dengan [latex]\frac{\pi}{180}[/latex], kemudian sudut [latex]2^0[/latex] sama nilainya dengan [latex]\frac{2}{180}\pi[/latex] dan seterusnya.

Jika diperhatikan grafik fungsi trigonometri dasar di atas, grafik fungsi sinus dan grafik fungsi cosinus memiliki kemiripan yaitu seperti gelombang teratur yang berulang-ulang. Namun jika dicermati kembali, dapat dilihat bahwa grafik fungsi cosinus di titik x=0 dimulai dari nilai y=1 sedangkan grafik fungsi sinus di titik x=0 dimulai dari nilai y=0.

Jika dihubungkan ke gambar segitiga konsep trigonometri yang ada di atas di awal materi ini maka untuk sudut [latex]\alpha=0^0[/latex] maka nilai Sin[latex](\alpha)[/latex] adalah sama dengan 0/r yaitu 0. Sedangkan nilai Cos[latex](\alpha)[/latex] adalah sama dengan c/r dimana c=r karena di sudut [latex]\alpha=0^0[/latex] sisi miring AC akan sejajar dengan sumbu x sehingga nilai Cos(0) menjadi sama dengan 1.

Tabel Trigonometri (Sin Cos Tan) Sudut Istimewa

Dalam satu putaran penuh 360 derajat terdapat sudut-sudut istimewa yang ditandai dengan nilai sin cos tan yang istimewa. Berikut ini adalah tabel sin cos tan sudut istimewa.

Trigonometri Dalam Kehidupan Sehari Hari

Dalam kehidupan sehari-hari kita dapat memanfaatkan fungsi trigonometri dasar untuk mengukur ketinggian gedung atau bangunan yang tinggi tanpa harus mengukur langsung bangunan tersebut menggunakan alat ukur panjang. Sebagai contoh soal, kita perhatikan gambar berikut

Berapakah tinggi pohon tersebut? kita dapat menghitung ketinggian pohon dengan fungsi trigonometri yang telah kita pelajari di materi ini.

[latex]Tan(\theta)=\frac{y}{x}[/latex]

[latex]y=x\,tan(\theta)=71ft\,\times\,tan(31,8^0)=44ft[/latex]

Jadi kita dapat kita ketahui bahwa tinggi pohon tersebut adalah 44 feet. Dalam mengukur sudut kemiringan kita dapat gunakan aplikasi di smartphone.

Perbandingan Trigonometri

Perbandingan trigonometri merupakan pengembangan dari trigonometri dasar. Pengembangan ini akan menuju kepada konsep trigonometri yang lebih mendalam dan akan kita temui rumus-rumus trigonometri baru yang dapat menyelesaikan persoalan-persoalan yang lebih kompleks. Dalam segmen ini kita akan membahas tentang pengukuran sudut, identitas trigonometri, perbandingan trigomometri dalam segitiga siku-siku, dalil sinus, dalil cosinus dan luas segitiga.

Jenis Jenis Pengukuran Sudut

Dalam trigonometri terdapat 2(dua) satuan pengukuran sudut yaitu derajat dan radian. Berikut adalah penjelasannya.

Derajat

Sudut dalam satu putaran penuh disebut dengan sudut 360 derajat. Jika kita membagi lingkaran menjadi 360 juring yang sama maka satu bagian ini disebut dengan 1 derajat ([latex]1^0[/latex]). [latex]1^0[/latex] ini dibagi menjadi 60 menit dan satu menit dibagi dalam 60 detik. Dengan demikian maka

[latex]1^0=60’=3600″[/latex]

Radian

Satuan ukuran sudut selain derajat adalah radian, perhatikan gambar berikut untuk memahami konsep radian.

Sudut Α dalam radian besarnya adalah panjang busur s dibagi dengan jari-jari r. Dengan demikian persamaannya adalah sebagai berikut

[latex]\alpha = \frac{s}{r}\,radian[/latex]

Jika kita mendapati panjang busur s sama dengan jari jari r atau s=r maka akan didapatkan besar sudut 1 radian yaitu

[latex]\alpha = \frac{s}{r}\,radian=1\,radian\cong\,57,296^0[/latex]

Dengan demikian, 1 radian adalah sudut pusat lingkaran dimana panjang busurnya sama dengan jari jari lingkaran tersebut. Besar sudut 1 radian juga sama dengan [latex]\frac{180^0}{\pi}\cong\,57,296^0[/latex].

Untuk mengkonversi sudut dari satuan derajat ke radian dapat digunakan rumus berikut,

[latex]\frac{\alpha_{radian}}{\pi\,rad}=\frac{\alpha_{derajat}}{180^0}[/latex]

Sektor atau Juring Lingkaran

Rumus luas juring ABC adalah :

[latex]Luas\,Juring\,ABC=\frac{1}{2}r^2 \alpha_{radian}[/latex]

Rasio atau Perbandingan Trigonometri Segitiga Siku Siku

Nilai sinus, cosinus, tangen, secan, cosecan dan cotangen sudut α dalam segitiga berikut akan selalu tetap walaupun ukuran segitiga bertambah besar atau kecil.

[latex]Sin\,\alpha = \frac{BC}{AB}=\frac{DE}{AD}=…[/latex]

[latex]Cos\,\alpha = \frac{AC}{AB}=\frac{AE}{AD}=…[/latex]

[latex]Tan\,\alpha = \frac{BC}{AC}=\frac{DE}{AE}=…[/latex]

[latex]Cosec\,\alpha = \frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DE}=…[/latex]

[latex]Sec\,\alpha = \frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}=…[/latex]

[latex]Cotan\,\alpha = \frac{AC}{BC}=\frac{AE}{DE}=…[/latex]

Identitas Trigonometri

[latex]Cosec\,\alpha = \frac{1}{sin\,\alpha}[/latex]

[latex]Sec\,\alpha = \frac{1}{cos\,\alpha}[/latex]

[latex]Cot\,\alpha = \frac{1}{tan\,\alpha}[/latex]

[latex]Tan\,\alpha = \frac{sin\,\alpha}{cos\,\alpha}[/latex]

[latex]Cot\,\alpha = \frac{cos\,\alpha}{sin\,\alpha}[/latex]

[latex]cos\,(-\alpha) = cos\,(\alpha)[/latex]

[latex]sin\,(-\alpha) = -sin\,(\alpha)[/latex]

[latex]tan\,(-\alpha) = -tan\,(\alpha)[/latex]

Dalil Sinus

Perhatikan gambar berikut untuk mempermudah pemahaman dalil Sinus

[latex]\frac{a}{sin\,\alpha}=\frac{b}{sin\,\beta}=\frac{c}{sin\,\gamma}[/latex]

Dalil Cosinus

[latex]a^2=b^2+c^2-2bc\,Cos(\alpha)[/latex]

[latex]b^2=a^2+c^2-2ac\,Cos(\beta)[/latex]

[latex]c^2=a^2+b^2-2ab\,Cos(\gamma)[/latex]

Luas Segitiga Dengan Trigonometri

Luas segitiga dengan perhitungan konvensional telah dibahas di artikel Rumus Luas Dan Keliling Bangun Datar. Di segmen ini kita akan menghitung luas segitiga berdasarkan rumus trigonometri. Berikut adalah penurunan rumusnya.

Luas segitiga di atas adalah :

[latex]L=\frac{1}{2}\times\,alas\,\times\,tinggi[/latex]

[latex]L=\frac{1}{2}\times\,c\,\times\,f[/latex]

[latex]L=\frac{1}{2}\times\,c\,\times\,b\,Sin(\alpha)[/latex]

[latex]L=\frac{1}{2}\times\,a\,\times\,b\,Sin(\gamma)[/latex]

[latex]L=\frac{1}{2}\times\,a\,\times\,c\,Sin(\beta)[/latex]

Penutup

Demikian bahasan singkat mengenai materi trigonometri. Sebagai kesimpulan, beberapa yang telah kita pelajari dalam materi ini adalah :

1. Konsep dasar trigonometri (sin, cos dan tan) menggunakan segitiga dan lingkaran konsep trigonometri
2. Tabel trigonometri
3. Grafik Trigonometri, dan
4. Contoh penerapan rumus trigonometri dasar dalam kehidupan sehari-hari
5. Perbandingan Trigonometri yang terdiri atas pengukuran sudut, identitas trigonometri, perbandingan trigomometri dalam segitiga siku-siku, dalil sinus, dalil cosinus dan luas segitiga dalam trigonometri.

[mathjax]