Besaran Vektor

Dasar Pemahaman

Besaran vektor adalah besaran yang memiliki magnitudo (besar) dan arah yang ditentukan dalam ruang tiga dimensi. Contoh besaran vektor adalah percepatan, gaya, kecepatan, dan momentum. Besaran vektor biasanya direpresentasikan dengan panah di atas huruf yang merepresentasikan besarnya. Misalnya, vektor percepatan direpresentasikan dengan panah di atas huruf “a”, yaitu \(\vec{a}\).

Dalam koordinat kartesian, besaran vektor dinyatakan dengan tiga komponen, masing-masing menunjukkan kontribusi besaran pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\). Vektor posisi, misalnya, dapat ditulis sebagai \(\vec{r} = (x, y, z)\), di mana \(x\), \(y\), dan \(z\) adalah koordinat pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).

Selain itu, besaran vektor juga dapat dioperasikan menggunakan operasi matematika seperti penjumlahan vektor, pengurangan vektor, dan perkalian skalar. Operasi ini memungkinkan kita untuk melakukan perhitungan yang kompleks dalam fisika dan matematika, seperti menghitung resultan gaya pada suatu benda atau menghitung arah dan besarnya momentum sebuah objek.

Berikut beberapa contoh sederhana dari besaran vektor

1. Kecepatan: kecepatan adalah besaran vektor yang menyatakan seberapa cepat suatu objek bergerak dan ke arah mana objek itu bergerak. Kecepatan dapat ditulis sebagai \(\vec{v} = (v_x, v_y, v_z)\), di mana \(v_x\), \(v_y\), dan \(v_z\) adalah kecepatan pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).

2. Gaya: gaya adalah besaran vektor yang menyatakan seberapa kuat suatu benda ditarik atau didorong dan arah gaya tersebut. Gaya dapat ditulis sebagai \(\vec{F} = (F_x, F_y, F_z)\), di mana \(F_x\), \(F_y\), dan \(F_z\) adalah gaya pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).

3. Percepatan: percepatan adalah besaran vektor yang menyatakan perubahan kecepatan suatu objek dalam suatu periode waktu tertentu dan arah percepatan tersebut. Percepatan dapat ditulis sebagai \(\vec{a} = (a_x, a_y, a_z)\), di mana \(a_x\), \(a_y\), dan \(a_z\) adalah percepatan pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).

4. Momentum: momentum adalah besaran vektor yang menyatakan seberapa berat suatu objek dan seberapa cepat objek tersebut bergerak dan arah momentum tersebut. Momentum dapat ditulis sebagai \(\vec{p} = (p_x, p_y, p_z)\), di mana \(p_x\), \(p_y\), dan \(p_z\) adalah momentum pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).

5. Vektor posisi: vektor posisi adalah besaran vektor yang menyatakan posisi suatu objek dalam suatu sistem koordinat tertentu. Vektor posisi dapat ditulis sebagai \(\vec{r} = (x, y, z)\), di mana \(x\), \(y\), dan \(z\) adalah koordinat pada sumbu \(x\), \(y\), dan \(z\).

Gambar besaran vektor dalam ruang tiga dimensi

Gambar tersebut menunjukkan tiga buah besaran vektor, yaitu \(\vec{a}\), \(\vec{b}\), dan \(\vec{c}\) yang dinyatakan dalam koordinat kartesian \((x, y, z)\). Setiap besaran vektor direpresentasikan oleh sebuah panah dengan panjang (magnitudo) dan arah yang ditentukan oleh koordinat \((x, y, z)\). Panjang panah merepresentasikan besar (magnitudo) dari besaran vektor, sedangkan arah dari panah merepresentasikan arah besaran vektor.

Dalam contoh gambar tersebut, \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\) memiliki arah yang sama, yaitu searah sumbu \(x\), sedangkan \(\vec{c}\) memiliki arah yang berbeda dari \(\vec{a}\) dan \(\vec{b}\). Selain itu, panjang dari \(\vec{b}\) lebih panjang dibandingkan dengan \(\vec{a}\) dan \(\vec{c}\), sehingga magnitudo \(\vec{b}\) lebih besar dibandingkan dengan \(\vec{a}\) dan \(\vec{c}\).

Contoh lainnya dari besaran vektor

Beberapa contoh besaran vektor dalam fisika adalah:

1. Kecepatan: Kecepatan adalah besaran vektor yang menyatakan perubahan posisi suatu benda dalam suatu waktu tertentu. Kecepatan dinyatakan dalam satuan meter per detik \((\text{m/s})\) dan memiliki arah yang sejajar dengan arah gerakan benda. Contohnya, kecepatan mobil yang bergerak ke arah timur dengan kecepatan 50 km/jam dapat dituliskan sebagai \(\vec{v} = (50\text{ km/jam})\ \hat{i}\), di mana \(\hat{i}\) adalah vektor satuan searah sumbu \(x\).

2. Gaya: Gaya adalah besaran vektor yang menyatakan pengaruh suatu benda terhadap benda lain dalam hal perubahan kecepatan atau bentuk benda tersebut. Gaya dinyatakan dalam satuan newton (\(\text{N}\)) dan memiliki arah yang sejajar dengan arah pengaruh tersebut. Contohnya, gaya gravitasi yang bekerja pada sebuah benda dengan massa 2 kg di dekat permukaan bumi dapat dituliskan sebagai \(\vec{F_g} = (2\text{ kg})(9.8\text{ m/s}^2)\ \hat{j} = 19.6\text{ N}\ \hat{j}\), di mana \(\hat{j}\) adalah vektor satuan searah sumbu \(y\) negatif.

3. Momentum: Momentum adalah besaran vektor yang menyatakan kuantitas gerak suatu benda, yaitu massa benda dikalikan dengan kecepatannya. Momentum dinyatakan dalam satuan kilogram meter per detik (\(\text{kg m/s}\)) dan memiliki arah yang sejajar dengan arah gerakan benda. Contohnya, momentum sebuah bola dengan massa 0.5 kg yang bergerak dengan kecepatan 10 m/s ke arah timur dapat dituliskan sebagai \(\vec{p} = (0.5\text{ kg})(10\text{ m/s})\ \hat{i} = 5\text{ kg m/s}\ \hat{i}\).

4. Percepatan: Percepatan adalah besaran vektor yang menyatakan perubahan kecepatan suatu benda dalam suatu waktu tertentu. Percepatan dinyatakan dalam satuan meter per detik kuadrat (\(\text{m/s}^2\)) dan memiliki arah yang sejajar dengan arah perubahan kecepatan. Contohnya, percepatan gravitasi yang bekerja pada benda di dekat permukaan bumi dapat dituliskan sebagai \(\vec{a} = (0\ \text{m/s}^2)\ \hat{i} - (9.8\ \text{m/s}^2)\ \hat{j}\), di mana \(\hat{i}\) dan \(\hat{j}\) adalah vektor satuan searah sumbu \(x\) dan \(y\) negatif.

Proyeksi Vektor

Proyeksi vektor adalah hasil proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu atau bidang tertentu. Proyeksi vektor dapat digunakan untuk menentukan komponen suatu vektor pada suatu sumbu atau bidang tertentu. Misalnya, proyeksi vektor pada sumbu x dapat digunakan untuk menentukan komponen vektor pada sumbu x, sedangkan proyeksi vektor pada bidang xy dapat digunakan untuk menentukan komponen vektor pada bidang xy.

Secara matematis, proyeksi vektor pada suatu sumbu atau bidang dapat ditemukan dengan mengalikan panjang vektor dengan kosinus sudut antara vektor tersebut dan sumbu atau bidang yang dimaksud. Jika vektor yang akan diproyeksikan dinyatakan sebagai vektor \(\vec{v}\) dan sumbu atau bidang yang dimaksud dinyatakan sebagai \(\hat{n}\), maka proyeksi vektor dapat dinyatakan sebagai:

$$\operatorname{proj}_{\hat{n}} \vec{v} = |\vec{v}| \cos \theta = |\vec{v}| \cos (\hat{n}, \vec{v})$$

di mana \(\theta\) adalah sudut antara vektor \(\vec{v}\) dan sumbu atau bidang \(\hat{n}\).

Ilustrasi proyeksi vektor dapat dilihat pada simulasi berikut: